این فایل دارای فرمت word می باشد.
مقاله اعداد طبیعی
فهرست مطالب
عنوان:
تاریخچه پیدایش عدد و شمارش
عدد
عدد طبیعی
یک رابطه جالب بین اعداد طبیعی
منابع
تاریخچه پیدایش عدد و شمارش
مقدمه
یکی
از کهن‌ترین و در ضمن اساسی‌ترین مفهومها در ریاضیات، مفهوم عددمثبت و
درست ، یعنی مفهومعددطبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد، از اهمیت
این مفهوم چیزی کم نمی‌شود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم‌های
دیگرریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت
انسان برای زندگی اقوامگرفته است.
از زمانهای کهن تا سده نوزدهم
میلادی ، بسیاری از نویسندگان ،اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ یا
در جایی به جز قلمرو انسان نسبتمی‌دادند. این جملهکرونیکر، دانشمندبزرگ
جبر مشهور است که: به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست، بقیه عددها
راانسان آفریده است. برخلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ، نتیجه‌ای از کار
عملی وذهنی انسان است.
منشا پیدایش عدد
نوشته‌های قدیمی ریاضی ،
کم و بیش تا سده هیجدهم ، اختراععدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی
یافیثاغورسحکیم، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می‌دادند. از
جملهماگنیتسکینویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه ،در کتاب خود به نام
حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش ناممی‌برد . در
افسانه‌های زیبای یونانی باستان ، اختراع عدد درست بهپرومتهنسبت داده شده
است.
مدرکهای پیدایش شمارش و عدد
به این ترتیب دانش ناچار است
برای نتیجه گیری، از مدرکهای غیر مستقیم استفاده کنند. پیش از همه باید از
نژاد شناسی نام برد. زیرا با بررسی فرهنگهای ملتهایی که در دوران پیش از
تاریخ به سر می‌برند، می‌تواندرباره دوره‌های تکامل ملتهای دیگر هم داوری
کرد. سرچشمه دیگر پژوهش ، زبان است کهنه تنها وسیله بستگی انسانها به دیگر
است، بلکه بازمانده‌ای از فعالیتهای معنویقدمهای کهن هم باشد. در زبان و در
ویژگیهای دستوری آن ، آگاهیهای گرانبهایی نگهداریشده است که تا اندازه‌ای ،
به روش شمردن مردم آن زمان ، و این که چگونه به شمارشامروزی رسیده‌ایم،
راهنمایی می‌کند.
با اینهمه ، آگاهیهایی که بوسیلهجهانگردان در جریان
سده‌های 18و 19 جمع‌آوری شده است، اهمیت زیادی درباره تاریخدانش دارد و
زمینه اصلی کار را برای ترسیم طرح تاریخی وپیدایش مفهوم عدد درست دراختیار
ما می‌گذارد. روشن شده است که بسیاری از قبیله‌ها ، می‌توانستند حساب
کنندبدون این که نامهای ویژه ای برای عددها داشته باشند. بنابر آگاهیهایی
که بوسیلهایاسماپارکاشف معروف قطب (1790-1855) بهما رسیده است، در آن زمان
،اسکیموها، اگر بیش از سه فرزند داشتند،نمی‌توانستند آنها را بشمارند. با
وجود این ، اگر یکی از فرزندانشان غایب بود،متوجه می‌شدند. یعنی بدون این
که برای هر کدام از آنها ، نشان ویژه جداگانه‌ایداشته باشند، می‌توانستند
حساب آنها را نگه دارند.
در این مرحله از تکامل ،عدد به خودی خود و
به عنوان یک مفهوم مستقل درک نمی‌شود، بلکه همراه با سایرویژگیها است و به
کیفیت چیزهایی مربوط می‌شود که مجموعه را تشکیل داده‌اند. طبیعیاست، شمردن
چیزها و مقایسه تعداد عضوهای مجموعه‌های مختلف ، کار دشواری است. آگاهیهای
پراکنده‌ای که در نوشته‌های مولفان تمدنهای نخستین وجود دارد، این ادعا
راثابت می‌کند که عمل شمارش برای قومهای اولیه ، مساله بغرنجی بوده است که
هر وقت بهآن می‌پرداختند، برایشان بی‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.
نمونه‌های جالبی از پیدایش عدد در طول تاریخ
ک.شتای
ننجهانگرد و نژاد شناس ، نمونه جالبی دراین باره نقل می‌کند. او حدود
سالهای هشتاد سده نوزدهم ، در عمقجنگلهای آمازون، به قبیله باکاایر
برخوردکه از نظر تکامل ، در سطح پایینی بودند. او بارها از بومیان خواسته
بود ده دانهبشمارند. آنها به کندی ، ولی درست ، تا شش دانه را می‌شمردند
ولی برای شمردندانه‌های هفتم و هشتم با ناراحتی متوقف می‌شدند، نشاط خود را
از دست می‌دادند، هاجو واج به دور و بر خود نگاه می‌کردند، از دردسری که
گرفتارشان کرده بود، غرغرمی‌کردند سرانجام هم یا از پاسخ طفره می‌رفتند و
یا پا به فرارمی‌گذاشتند.میکلوخو- ماکلای،درباره عدد شماری بومیان گینه نو
می‌نویسد: بومیان روش جالبی برای شمردن دارند. آنها انگشتان خود را یکی پس
از دیگری می‌بندند و صدای معینی را تکرار می‌کنند وقتیبه پنج می‌رسند،
می‌گویند دست. بعد ، آغاز به بستن انگشتان دست دیگر خود می‌کنند... تا به
دو دست برسند... و برای 15 یک پا و برای 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم
بعداز آن را بشمارند، از انگشتان دست و پای دیگری استفاده می‌کنند.
می‌بینیم، مهارت درشمردن مربوط به وجود نام ویژه‌ای برای عددها یا وجود
نمادهایی برای رقمهانیست.
شکل گرفتن عددها را باید از مرحله‌های بالای
تکامل شمار دانست. مدتهاپیش از آن که نامهای ویژه‌ای برای عددها پیدا شود،
برای بیان تعداد چیزها، نام هاییوجود داشت. معلوم شده است نزد برخی از
قبیله‌های آفریقایی ، برای هر یک از حالتهای3 گاو ، 3 درخت ، 3 جنگ و غیره
نام ویژه ای دارند. یا برخی از قبیله های غرب کاناداکه نامی برای عدد 3
ندارند، برای 3 چیز از نامهای استفاده می کنند. تخه ، سه چیز،تخانه ، سه
برگ. بومیان فلوریدا برای 10 تخم مرغ می‌گویند نانگوآ و برای 10
سبدنا-بانارا. ولی بطور جداگانه برای عدد 10 (که به چیز مقید نباشد) از
واژه نااستفاده نمی کنند و برای عدد 10 هیچ واژه ای ندارند.
نویسنده
ضد دوریگلند دراین باره می گوید: مفهوم های عدد و شکل، از جایی جز جهان
واقعی ، گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمردن، یعنی نخستین عمل حساب را
روی آنها یاد گرفت، همه چیز هستجز محصولی که زاییده اندیشه خالص باشد.
برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشتهباشیم که آن را بشماریم. بلکه باید
این استعداد را هم داشته باشیم که ضمن بررسی اینچیزها ، هر ویژگی دیگری جز
شمار را از آن جدا کنیم و این استعداد هم در نتیجه تکاملتاریخی طولانی که
متکی بر تجربه باشد بدست می‌آید.
عدد
یکعددیک ماهیت مجرد است که
برای توصیفکمیتاستفاده می شود. انواع مختلفی از اعدادوجود دارد. مشهورترین
اعداد،اعدادطبیعی {... ،3،2،1} هستند که برای شمارش بکار رفته و باN، و اگر
عددصفررا نیز در بر داشته باشداعداد حسابی{... ،3،2،1،0} و باIمشخص می
شوند. اگر تمام اعدادمنفیرا شامل شود،اعدادصحیح Z بدست می آید. نسبت اعداد
صحیحاعداد گویایاکسرنام دارند؛ دسته کامل تمام اعداد گویاباQنشان داده می
شود. اگر تمام عبارتهایی که اعشار آنها غیر تکراری ونامحدود است را نیز
شامل کنیم،Rبدست می آیند. اعدادحقی